数学易错常识清单

理科数学

1、集合与常用逻辑用语

易错常识清单

1.集合的定义与运算

（1）解题时要明确集合中元素的特点，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.

（2）集合中的元素具备确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，特别应该注意元素的互异性.

（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，预防漏解.

（4）解题时注意区别两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包括关系.（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用办法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

（6）处置集合问题时，必须要注意检验结果是不是与题设相矛盾.

2.命题及其关系、充分条件与必要条件

（1）当一个命题有大首要条件而要写出其他三种命题时，需要保留大首要条件.

（2）判断命题的真伪及写四种命题时，必须要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若

p 则 q”的形式.

（3）判断条件之间的关系时应该注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而非必要条件是 q”等语言.

3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题

（1）p∨q 为真命题，仅需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，需要 p、q 同时为真.

（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.

（3）命题的否定与否命题：

“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只不过否定命题 p 的结论.

2、函数与导数

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1.分段函数

在求分段函数的值 f  时，要先判断 x0 是概念域的什么子集，然后代入相应的关系式；

分段函数的值域应是其概念域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

2.函数的单调性与最值

（1）区别两个定义：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数拥有单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.

（2）函数的单调区间可能不是整个概念域，可能是概念域的子集，但肯定是连续的.

（3）函数的额单调性是针对概念域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，

__________

但在整个概念域上可能不是单调函数，如函数 y= x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在概念域上不具备单调性.

（4）若函数在两个不一样的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不可以写成并集.比如，函数 f在区间上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在∪上却不

肯定是减函数，如函数 f  = __________x .

3.函数的奇偶性与周期性

（1）f=0 不是函数 f是奇函数的充分条件，更不是必要条件.

（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的看法，可以分类讨论，也可以借助图象进行判断.

4.二次函数与幂函数

（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要觉得它是二次函数，就需要满足 a≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种状况.

（2）幂函数的图象必然会出目前第一象限，肯定不会出目前第四象限，至于是不是出目前2、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出目前两个象限内;假如幂函数图象与坐标轴相交，则交点肯定是原点.

5.指数与指数函数

（1）指数函数的底数不确定时，单调性不清楚，从而没办法确定其最值，故应分 a>1 和 0两种状况讨论.

（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练学会指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，借助换元法求解时应该注意“新元”的取值范围.

（3）对可化为 a2 x + ba x + c = 0 或 a2 x + ba x + c ³ 0 形式的方程或不等式，常借用换

元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.

6.对数与对数函数

（1）在运用性质 log a M a = a log a M 时，要特别注意条件 M>0，在无 M>0 的条件下应为 loga M a = a loga M |.

（2）指数函数 y = a x 与对数函数 y = loga x 互为反函数，应从定义、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与不同.

（3）解决与对数函数有关的问题时应该注意两点：①务必先研究函数的概念域;②注意对数底数的取值范围.

7.函数的图象

（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f的图象到 f的图象是向右平移 __________2 个单位，即把 x 变成 x- __________2 .

（2）当图形不可以准确地说明问题时，可借用“数”的精准性进行求解，解题过程中要重视数形结合思想的运用.

8.函数与方程

（1）函数 f的零点是一个实数，是方程 f=0 的根，也是函数 y=f的图象与 x 轴交点的

横坐标.

（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

9.函数模型及其应用

（1）函数模型应用不当，是容易见到的解题错误.所以要正确理解题意，选择合适的函数模型.

（2）要特别关注实质问题的自变量的取值范围，合理确定函数的概念域.

（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，需要验证这个数学结果对实质问题的合理性.

10.导数的定义及运算

（1）借助公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，预防与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线有什么区别，前者只有一条，而后者包含了前者.

（3）曲线的切线与曲线的交点个数不肯定只有一个.

11.导数与函数的单调性、极值、最值

（1）求函数单调区间与函数极值时要培养列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.

（2）求函数最值时，不可想当然地觉得极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时应该注意不同求单调性和已知单调性的问题，处置好 f ′=0 时的状况;区别极值点和导数为 0 的点.

12.导数的综合应用

（1）若函数 f在某个区间内单调递增，则 f ′≥0，而不是 f ′>0=0 在有限个点处取到).

（2）借助导数解决实质日常的优化问题时，应该注意问题的实质意义.

13.定积分

（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.

（2）若定积分式子中有几个不一样的参数，则需要先分清哪个是积分变量.

（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.

（4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但应该注意面积非负，而定积分的结果可以为负.

（5）将需要面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.

三 、数列

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1.数列的定义及简单表示法

（1）数列是一种特殊的函数，在借助函数看法研究数列时，必须要注意自变量的取值，如

数列 an  = f  )和函数 y = f  的单调性是不一样的.

（2）数列的通项公式不肯定唯1、

2.等差数列及其前 n 项和

（1）当公差 d≠0 时， an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时， an 为常数.

（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和 sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n

项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.

3.等比数列及其前 n 项和

（1）注意等比数列中的分类讨论.

（2）由 an+1 = q · an ，并不可以判断数列｛ an ｝是等比数列，还要验证 a1 是不是为 0.

4.数列求和

（1）直接应用公式求和时，应该注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应付公比是不是为 1 进行分类讨论.

（2）在应用错位相减法时，注意察看未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.

（3）在应用裂项相消法时，应该注意消项的规律具备对称性，即前剩多少项后剩多少项.

4、三角函数

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1.任意角的三角函数

（1）注意易混定义有什么区别：象限角、锐角、小于 90°的角是定义不一样的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可借助 180°=π rad 进行互化，在同一个式子中，使用的度量规范需要一致，不可混用.

（3）已知三角函数值的符号确定角的终边地方时不要遗漏终边在坐标轴上的状况.

2.同角三角函数的基本关系与诱导公式

（1）借助诱导公式进行化简求值时，先借助公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名字和符号的确定.

（2）在借助同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

（3）注意求值与化简后的结果要尽量有理化、整式化.

3.三角函数的图象与性质

（1）闭区间上最值或值域问题，要先在概念域基础上剖析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

（2）应该注意求函数 y=Asin的单调区间时ω的符号，尽可能化成ω>0 时的状况.

（3）三角函数的最值不肯定在自变量区间的端点处获得，直接将两个端点处的函数值作为最值是不对的.

4.函数 y=A sin的图象及应用

（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin的图象，如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.

（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.

（3）求函数 y=Asin在 x∈[m，n]上的最值，可先求 t=ωx+φ的范围，再结合图象得

出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.

5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

”与“ Û

（1）运用公式时注意审察公式成立的条件，应该注意和、差、倍角的相对性，应该注意升次、降次的灵活运用，应该注意“1”的各种变通.

（2）在（0，π ）范围内，sin= 22 所对应的角α+β不是唯一的.

（3）在三角求值时，总是要估计角的范围后再求值.

6.简单的三角恒等变换

（1）借助辅助角公式 asin x+bcosplay x 进行转化时，必须要严格对照和、差公式，预防弄错辅助角.

（2）计算形如 y=sin，x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和 x 的范围混淆.

7.正弦定理、余弦定理

（1）在借助正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的状况，所以要进行分类讨论.

（2）借助正、余弦定理解三角形时，应该注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

8.三角形的实质应用

在实质问题中，或许会遇见空间与平面（地面）同时研究的问题，这个时候最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，如此处置起来既了解又困难弄错.

5、不等式

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1.不等关系与不等式

（1）a>bÞ ac>bc 或 a

（3）a>bÞ an>bn，对于正数 a、b 才成立.

a >1 Û a>b，对于正数 a、b 才成立.

（4） b

（5）注意不等式性质中“Þ ”有什么区别，如 a>b，b>c a>c，反过来 a>c，不可以

推出 a>b，b>c.

（6）作商法比较大小时，应该注意两式的符号.

（7）求范围问题时，假如多次借助不等式，则可能扩大变量的取值范围.

2.不等式的解法及应用

（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的状况.

（2）当 <0 时，要注意区分 ax2+bx+c>0的解集为 R 还是空集.

（3）对于含参数的不等式应该注意选好分类标准，防止盲目讨论.

（4）注意用“根轴法”解整式不等式的需要注意的地方及解分式不等式 f  >a的一般思路

g

——移项通分.

（5）求解含参数不等式的通法是“概念域为首要条件，函数增减性为基础，分类讨论是重点”.注意：求解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数

取值分不要说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.

提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示;

②不等式解集的端点值总是是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

（6）解决恒成立问题必须要弄清哪个是主元，哪个是参数.一般地，了解哪个的范围，哪个就是主元，求哪个的范围，哪个就是参数.

3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

（1）画二元一次不等式（组）表示的平面地区时，防止错误的要紧办法就是使二元一次不等式（组）标准化.

z

（2）通过求直线的截距 b 的最值间接的求 z 的最值时，应该注意：当 b>0 时，若截距 b 取最

z

大值，则 z 取最小值，若截距 b 取最小值，则 z 取最大值.

4.基本不等式及其应用

（1）借助基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.

（2）连续用基本不等式求最值时需要每次等号成立的条件一致.

（3）对实质问题，在审题和建模时肯定不可忽视对目的函数概念域的准确挖掘.一般地，每一个表示实质意义的代数式需要为正，由此可得自变量的取值范围，然后借助基本不等式求最值.

6、平面向量

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1.平面向量的定义及线性运算

（1）求解向量的定义问题时应该注意两点：一是不只要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是不是也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

（2）在借助向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，致使错误.

（3）两个向量共线有方向相同、相反两种状况，要考虑全方位.

2.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）要区别点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包括向量大小和方向两种信息.

（2）若 a=,b=,则 a∥b 的充要条件不可以表示成 x1 = y1 ，由于 x2,y2 大概等于 0，

x2 y2

所以应该表示为 x1y2-x2y1=0.

（3）用平面向量基本定理时必须要注意两个基底向量不共线.

3.平面向量的数目积

（1）对数目积的运算律要准确理解、应用.比如,a·b=a·c（a≠0）不可以得出 b=c,由于两边不可以同时约去向量 a.

（2）若两个向量的夹角为锐角，则有 a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.

4.平面向量应用举例

（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.

（2）注意向量共线和两直线平行的关系.

（3）借助向量求解分析几何中的平行与垂直问题，可有效防止因斜率没有使问题漏解的状况.

7、立体几何

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1.三视图与直观图

（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯瞰图一样长，侧视图和俯瞰图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.

（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中打造直角坐标系，尽可能运用图形中原有些垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中重点线段长度的关系.

（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，应该注意实、虚线的画法．

（4）确定正视、侧视、俯瞰的方向，察看同一物体方向不同，所画的三视图也不同．

2.空间几何体的表面积

（1）求组合体的表面积时，应该注意各几何体重叠部分的处置．

（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在辨别时要紧扣概念，以防出错.

3.空间点、线、面地方关系

（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的意思，不要理解成“不在一个平面内”．

（2）不共线的三点确定一个平面，绝对不能扔掉“不共线”的条件．

（3）两条异面直线所成角的范围是，则｜x｜≤a,这往

a2 b2

往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而致使求最值错误是什么原因.

（3）区别双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大小关系，在椭圆中 a2＝b2＋ c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.

（4）双曲线的离心率 e∈，而椭圆的离心率 e∈．

（6）求抛物线的规范方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是不是为标准方程，与是哪一种标准方程．

（7）注意应用抛物线的概念解决问题．

（8）求轨迹方程时，应该注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的变形是不是是同解变形；二是是不是符合题目的实质意义．

（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不一样的需要.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后依据方程说明点的轨迹的形状、地方、大小等．

5.直线与圆、圆锥曲线的地方关系

（1）直线与双曲线交于一点时，其地方关系不肯定相切，比如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.

（2）在解决直线与抛物线的地方关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若借助弦长公式计算问题，在设直线斜率时应该注意说明斜率没有的状况．

（4）对于中点弦问题，可以借助“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．

9、计数原理

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1.两个计数原理

（1）切实理解“完成一件事”的意思，以确定需要分类还要分步进行．

（2）分类的重点在于要做到“不重不漏”，分步的重点在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

（3）确定题目中是不是有特殊条件限制．

2.排列与组合

（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分借助元素的性质进行分类、分步，然后借助两个计数原理做最后处置．

（2）解受条件限制的组合题时，一般用直接法和间接法来解决.分类标准应统一，防止出现重复或遗漏现象．

（3）对于选择题要小心处置，注意答案的不同等价形式.处置选择题可使用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.

3.二项式定理

（1）项的系数与 n 和 a，b 的值有关，二项式系数只与 n 有关，且大于 0.（2）求二项式系数的和，可使用“赋值法”．

（3）关于组合式的证明，常使用“架构法”——架构函数或架构同一问题的两种不同算法．（4）展开式中第 k＋1 项的二项式系数与第 k＋1 项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.

10、概率与统计

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1.随机事件的概率

（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊状况，但互斥事件可能不是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

（2）需准确理解题意，特别留神“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的意思.

2.古典概型

（1）古典概型的要紧思想是事件发生的等可能性，必须要注意在计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时，它们是否等可能的．

（2）概率的一般加法公式：P＝P＋P－P．

提示：①公式有哪些用途是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、B 互斥，此时 P＝0，所

以 P＝P＋P；②要计算 P，需需要 P、P，更要紧的是确定事件 A ∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求1、

3.几何概型

（1）准确把握几何概型的“测度”是解题重点.

（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是不是包括在事件之内不影响所求结果.

4.二项分布

（1）运用公式 P=PP时必须要注意公式成立的条件，只有当事件 A、B 相互独立时，公式才成立.

（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.

5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布

（1）会依据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

（2）对于实质应用问题，需要对实质问题进行具体剖析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行剖析，求出随机变量的分布列，然后按概念计算出随机变量的均值、方差．

（3）解决正态分布问题有三个重点:①对称轴 x=μ;②标准差σ;③分布区间.借助对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特点进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0.

6.随机抽样

（1）系统抽样的特征：适用于元素个数不少且均衡的总体；每个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，使用简单随机抽样．

（2）进行分层抽样时应注意以下几个方面：

①分层抽样中分多少层、怎么样分层要视具体状况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两

层之间的样本差异要大，且互不重叠.

②为了保证每一个个体等可能入样，所有层中每一个个体被抽到的可能性相同.

7.用样本估计总体

（1）频率分布直方图的纵坐标为 频率 ，每个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内

组距

的频率.

（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是容易见到的错误.

8.变量间的有关关系、统计案例

（1）有关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．比如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2 就是函数关系．有关关系是一种非确定性关系，即有关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．比如产品的销售额与广告费是有关关系．两个变量具备有关关系是回归剖析的首要条件．

（2）回归剖析是对具备有关关系的两个变量进行统计剖析的办法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实质意义，不然，求出的线性回归方程毫无意义，依据回归方程进行预报，得出的只是一个预报值，而不是真实发生的值.

十1、算法、复数、推理与证明

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1.算法

（1）注意起止框与处置框、判断框与循环框的不同.

（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具备重复性，条件结构具备选择性没重复性，并且循环结构中一定包括一个条件结构，用于确定何时终止循环体.

（3）对条件结构，无论判断框中的条件是不是成立，都只能实行两个分支中的一个，不可以同时时实行两个分支.

（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要不同两者的异同，循环语句主要解决需要反复实行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.（5）关于赋值语句，有以下几个方面应该注意：

①赋值号左侧只能是变量名字，而不是表达式，比如 3=m 是不对的.

②赋值号左右不可以对换，赋值语句是将赋值号右侧的表达式的值赋给赋值号左侧的变量，例

如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值，不可以改写为 x=Y.由于后者表示用 Y 的值替代变量 x 的值.

③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不可以出现多个“=”.

（6）应用循环结构解决问题时，必须要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明确什么地方是计数器，什么地方是赋值器，注意循环体内各语句不可以随便颠倒，准确判断结束

循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.

2.复数

（1）断定复数是实数，仅重视虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是不是有意义.

（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，辨别式不再成立.因此解此类方程的解，通常都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

（3）两个虚数不可以比较大小.

（4）借助复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的首要条件条件.

（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移总是和加法、减法相结合.

（6）注意不可以把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.比如，若 z1，z2∈

C,z12+z22=0，就不可以推出 z1=z2=0；z2<0 在复数范围内有可能成立.

3.推理与证明

（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.

（2）解决总结推理问题，常因条件不足，知道不全方位而致误.应由条件多列举一些特殊状况再进行总结.

（3）用剖析法证明问题时，应该注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“仅需证……”等，逐步剖析，直至一个明显成立的结论.

（4）借助反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，假如没用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是不对的.

（5）用数学总结法证明问题时初始值 n0 可能不是 1.

（6）推证 n=k+1 时必须要用上 n=k 时的假设，不然不是数学总结法.

十2、选考部分

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1.坐标系与参数方程

（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常见的消参办法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消去法.在消参的过程中注意变量 x,y 取值范围的一致性,需要依据参数的取值范围，确定 f和 g的值域，从而确定 x,y 的取值范围.

（2）当一个参数方程中除已知变量 x,y 外，还有两个或两个以上的字母时，必须要认清什么是参变量（参数），什么是常数，弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真察看方程的表现形式与题目本身隐含的一些限制条件，以便于探寻最好化简渠道.

（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定适合的参数 t，先确定一个关

系 x=f（y=g），再代入普通方程 F=0，求得另一关系 y=g（x=f），一般地，常选择的参数有角、有向线段的数目、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）.

（4）直角坐标与极坐标互化可以把不熟知的问题转化为熟知的问题，但必须要注意二者互化的首要条件条件.把直角坐标化为极坐标时，必须要明确点所在的象限（即极角的终边的地方），以便正确求出极角.

2.不等式选讲

（1）求解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化将所求不等式变为简单的不等式（组），必须要注意在转化过程中限制条件不可丢失，如分母不可以为零、对数的

真数与底数的限制等.

（2）运用不等式的性质时，必须要注意不等式成立的条件，弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论.

（3）借助基本不等式求最值时，必须要注意“一正、二定、三相等”，同时还应该注意一些变形方法，积极创造条件借助基本不等式.常见的初等变形办法有裂项、增减项、配系数等.

（4）|a+b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式时可以直接用，也可以借助它消去变量求最值.绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的要紧工具，但有时还需要通过适合的变形使其符合用绝对值三角不等式的条件.

（5）在借助分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与首要条件条件求交集.

（6）不等式的解集为 R 是不等式恒成立问题，而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题，如 f>m 的解集为 ，则 f≤m 恒成立.

（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾需要是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，应该注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不可以达到证明目的，常见的放缩办法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.

十3、常用数学思想办法

易错常识清单

1.转化与化归思想

（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；

（2）注意转化的多样性，设计适当的转化策略；

（3）注意紧盯化归目的，保证化归的有效性、规范性.设计化归目的时，一般以教程中的入门知识、基本办法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.

2.分类讨论思想

（1）依据问题实质，做到分类不重复不遗漏；

（2）熟练学会入门知识、基本办法和基本方法，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的首要条件；

（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.

3.数形结合思想

（1）由数想形时，应该注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；

（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特征，但代替不了具体的运算和证明，在解题中总是提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真的的主角，若忽略这一点，比较容易导致对数形结合的谬用.

4.函数与方程思想

（1）在高中数学的每个部分，都有一些公式和定理，这类公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、分析几何中的弦长公式等，当题目与这类问题有关时，就需要依据这类公式或定理列方程或方程组求解需要的量.

（2）当问题中涉及一些变量时，就需要打造这类变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要用函数思想.

（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解

方程 f=0 就是求函数 y=f的零点，方程 f=g的解的问题可以转化为函数 y=f与 y=g

的交点问题，也可以转化为函数 y= f-g与 x 轴的交点问题.